POLIEDROS, LADRILLOS Y OTROS OBJETOS CURIOSOS
Están
el tetraedro, formado por cuatro triángulos; el
octaedro, que tiene ocho; y el icosaedro,
que consta de veinte triángulos equiláteros. Con seis cuadrados se
forma el popular y sencillo cubo, también llamado hexaedro.
Por último, el dodecaedro se construye con doce
pentágonos. Todos ellos pueden utilizarse como dados en los juegos
de azar, ya que si están bien construidos, la probabilidad de
presentar cualquiera de sus caras es idéntica. Los antiguos griegos
estudiaron estos cinco poliedros regulares de forma exhaustiva, a la
vez que trataron inútilmente de encontrar otros que cumplieran sus
mismas propiedades. Naturalmente, no lo consiguieron, porque es
imposible. Platón, nuestro viejo amigo de quien nos ocupamos una vez
en este mismo blog (clic aquí para el enlace) mencionó estos poliedros regulares en su diálogo
Timeo, por eso suele llamárseles también sólidos
platónicos.
Se
cree que fue Teeteto, un contemporáneo de Platón, el
primero en demostrar la inexistencia de otros poliedros regulares
diferentes de los cinco conocidos. El razonamiento que al parecer
utilizó, no puede ser más simple: si más de dos polígonos
equiláteros coinciden, deben hacerlo en un vértice. En este, la
suma de los ángulos de los polígonos coincidentes debe ser menor de
360º. No pueden sumar más, y si la suma fuera 360º justos,
tendríamos un plano. Esta restricción resulta insalvable. Todo
polígono regular de seis o más lados tiene ángulos de al menos
120º. Por lo tanto, no puede usarse ninguno de ellos. Con
triángulos, cuadrados o pentágonos, sólo pueden formarse los cinco
que conocemos. Así que ya está. El profe Bigotini os reta a que
probéis con hexágonos. Siguiendo el razonamiento anterior,
comprenderéis de forma intuitiva que no es posible hacerlo. Con
ángulos de 120 o más grados jamás podrá cerrarse el poliedro, al
menos en nuestro familiar espacio tridimensional.
Otra
curiosidad teórica o utopía geométrica es el célebre ladrillo
de Euler, también llamado el ladrillo
perfecto. Siguiendo la explicación que nos brinda
Richard Elwes en el libro de divulgación matemática dirigido por
Richard Brown, es fácil dibujar un rectángulo en el que sus cuatro
lados sean números enteros. Algo más difícil es conseguir que su
diagonal sea también un número entero. Tomemos un polígono más
simple: el cuadrado. En un cuadrado de 1 cm de lado, la diagonal
tiene 1,41 cm aproximadamente (exactamente, la raíz cuadrada de 2,
según el teorema de Pitágoras). Lo mismo ocurre con todos los
cuadrados: si los lados son números enteros, la diagonal no puede
serlo.
Esto
es igualmente válido para muchos rectángulos, pero hay unos pocos
que sí satisfacen esa condición. Uno de 3 x 4 cm tiene una diagonal
de 5 cm exactos. Hay otro de 5 x 12 cm, cuya diagonal es 13 cm. El
sueño de Euler era un ladrillo (ortoedro) en el que
todas las aristas y las diagonales de las caras fueran números
enteros. El primero de ellos fue descubierto por Paul Halcke en 1719.
Tiene una altura de 44 unidades, una anchura de 117 unidades, y una
longitud de 240 unidades, con lo que las diagonales de las caras son
125, 244 y 267 respectivamente. Desde entonces se han descubierto
otros, pero queda todavía un reto: que la diagonal interna, que va
de uno de los vértices a su opuesto, sea también un número entero.
Este sería el utópico ladrillo de Euler o ladrillo perfecto. Por
ahora no se ha podido encontrar ninguno, es decir, no sabemos si
existe el ladrillo perfecto. Las simulaciones matemáticas por
ordenador han llegado de momento a la conclusión de que si existe
alguno, el menor de sus lados deberá tener una longitud mayor de
1.000.000.000.000 unidades, la cifra más alta en la que hasta ahora
se han quedado los cálculos de las computadoras.
Así que los matemáticos no han encontrado ningún ladrillo perfecto. Habrá que preguntar a los albañiles si han llegado a ver alguno. El profe Bigotini nos pide que concluyamos con esto, no sea que el ladrillo perfecto se convierta en un perfecto ladrillo.
CONJETURAS Y CERTEZAS GEOMÉTRICAS
En
matemáticas, en geometría (que viene a ser la matemática del
espacio), y en cualquier rama de la ciencia en general, una conjetura
es una hipótesis que, aunque tiene muchos visos de verosimilitud,
todavía no ha podido ser probada matemáticamente. Por ejemplo la
conjetura de Goldbach, enunciada en 1742, dice que todo
número par mayor que dos puede escribirse como la suma de dos
números primos. Durante casi tres siglos muchos matemáticos han
intentado demostrarla sin éxito. Los cálculos con ordenador han
comprobado que funciona para todos los números pares menores que un
cuatrillón. Eso otorga a la hipótesis bastante credibilidad. Sin
embargo, nadie ha conseguido demostrarla matemáticamente. De acuerdo
que un cuatrillón es un número muy alto, pero desde él al infinito
aun queda mucho camino: exactamente un camino infinito. Así que
hasta que no sea probada, la de Goldbach seguirá siendo una
conjetura.
¿Cuál
es la forma más eficaz de cubrir el plano? O dicho de otra manera,
¿que tipo de forma regular o irregular sirve mejor a este propósito
utilizando el borde más pequeño posible? Pappus de Alejandría, que
vivió en el siglo IV, aventuró que la forma más eficaz era el
hexágono regular. Es lo que se conoce como conjetura del
panal. Durante varios siglos se plantearon muchas
alternativas, bien con piezas iguales o combinadas, pero ninguna se
mostró más eficaz que el hexágono. No fue hasta finales del pasado
siglo XX que Thomas Hales halló una demostración formal. Ahora la
conjetura de Pappus ha pasado a ser un teorema.
Tenemos la certeza de su veracidad. Así pues el alejandrino tenía
razón, y a quienes sigáis nuestro blog no os sorprenderá saber que
también tienen razón las abejas. Sus panales, construidos a base de
hexágonos, resultan la forma más eficaz para contener la mayor
cantidad de miel con el menor gasto en cera. Como tantas veces, la
naturaleza conoce estas respuestas desde hace millones de años.
Sólido de Kelvin
Otra
pregunta: ¿Cuál es la forma capaz de cubrir mayor volumen de
espacio tridimensional con un borde más pequeño? La respuesta la
dio en forma de conjetura William Thomson, más conocido por su
título de lord Kelvin, en 1877: es el octaedro truncado,
también llamado sólido de Kelvin, que aparece en la
ilustración. Quedó formulada de esta manera la conjetura de
Kelvin. Muchos científicos se han esforzado desde entonces
en demostrarla, hasta que en fecha tan reciente como 1993, Denis
Weaire y Robert Phelan, estudiando la estructura de ciertas espumas
mediante métodos cristalográficos, hallaron una estructura
tridimensional más eficaz para cubrir el espacio que el famoso
octaedro truncado propuesto por Kelvin. Ante el pasmo general, estos
dos físicos irlandeses presentaron una estructura compleja formada
por dos dodecaedros irregulares y seis tetracaideacaedros (de catorce
caras) también irregulares. Es la que podéis ver en la ilustración,
que ahora conocemos como estructura de Weaire-Phelan.
Como no ha podido ser demostrada, el que esta estructura sea la forma
más eficaz de llenar el espacio, sigue siendo una conjetura. Mejor
que la de Kelvin, por supuesto, pero todavía conjetura.
Estructura de Weaire-Phelan
Clatratos
Pero
lo más curioso es que cuando la pareja presentó formalmente su
estructura ante la comunidad científica, hubo varios químicos y
muchos geólogos que la reconocieron inmediatamente. Aquello era ni
más ni menos que la estructura molecular de los clatratos,
unos compuestos tan eficaces para llenar el espacio sin dejar
fisuras, que son capaces de contener grandes cantidades de líquidos
(agua) o gases (metano) en el interior de rocas y en la profundidad
de los mares y los continentes. Como siempre (ya se que lo estabais
imaginando) la sabia y asombrosa naturaleza ya se había encargado de
inventarla y utilizarla desde el principio de los tiempos.
Si
es un milagro cualquier testimonio es suficiente, pero si se trata de
un hecho es necesario probarlo. Mark Twain.
En
matemáticas, en geometría (que viene a ser la matemática del
espacio), y en cualquier rama de la ciencia en general, una conjetura
es una hipótesis que, aunque tiene muchos visos de verosimilitud,
todavía no ha podido ser probada matemáticamente. Por ejemplo la
conjetura de Goldbach, enunciada en 1742, dice que todo
número par mayor que dos puede escribirse como la suma de dos
números primos. Durante casi tres siglos muchos matemáticos han
intentado demostrarla sin éxito. Los cálculos con ordenador han
comprobado que funciona para todos los números pares menores que un
cuatrillón. Eso otorga a la hipótesis bastante credibilidad. Sin
embargo, nadie ha conseguido demostrarla matemáticamente. De acuerdo
que un cuatrillón es un número muy alto, pero desde él al infinito
aun queda mucho camino: exactamente un camino infinito. Así que
hasta que no sea probada, la de Goldbach seguirá siendo una
conjetura.
¿Cuál
es la forma más eficaz de cubrir el plano? O dicho de otra manera,
¿que tipo de forma regular o irregular sirve mejor a este propósito
utilizando el borde más pequeño posible? Pappus de Alejandría, que
vivió en el siglo IV, aventuró que la forma más eficaz era el
hexágono regular. Es lo que se conoce como conjetura del
panal. Durante varios siglos se plantearon muchas
alternativas, bien con piezas iguales o combinadas, pero ninguna se
mostró más eficaz que el hexágono. No fue hasta finales del pasado
siglo XX que Thomas Hales halló una demostración formal. Ahora la
conjetura de Pappus ha pasado a ser un teorema.
Tenemos la certeza de su veracidad. Así pues el alejandrino tenía
razón, y a quienes sigáis nuestro blog no os sorprenderá saber que
también tienen razón las abejas. Sus panales, construidos a base de
hexágonos, resultan la forma más eficaz para contener la mayor
cantidad de miel con el menor gasto en cera. Como tantas veces, la
naturaleza conoce estas respuestas desde hace millones de años.
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| Sólido de Kelvin |
Otra
pregunta: ¿Cuál es la forma capaz de cubrir mayor volumen de
espacio tridimensional con un borde más pequeño? La respuesta la
dio en forma de conjetura William Thomson, más conocido por su
título de lord Kelvin, en 1877: es el octaedro truncado,
también llamado sólido de Kelvin, que aparece en la
ilustración. Quedó formulada de esta manera la conjetura de
Kelvin. Muchos científicos se han esforzado desde entonces
en demostrarla, hasta que en fecha tan reciente como 1993, Denis
Weaire y Robert Phelan, estudiando la estructura de ciertas espumas
mediante métodos cristalográficos, hallaron una estructura
tridimensional más eficaz para cubrir el espacio que el famoso
octaedro truncado propuesto por Kelvin. Ante el pasmo general, estos
dos físicos irlandeses presentaron una estructura compleja formada
por dos dodecaedros irregulares y seis tetracaideacaedros (de catorce
caras) también irregulares. Es la que podéis ver en la ilustración,
que ahora conocemos como estructura de Weaire-Phelan.
Como no ha podido ser demostrada, el que esta estructura sea la forma
más eficaz de llenar el espacio, sigue siendo una conjetura. Mejor
que la de Kelvin, por supuesto, pero todavía conjetura.
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| Estructura de Weaire-Phelan |
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| Clatratos |
Pero
lo más curioso es que cuando la pareja presentó formalmente su
estructura ante la comunidad científica, hubo varios químicos y
muchos geólogos que la reconocieron inmediatamente. Aquello era ni
más ni menos que la estructura molecular de los clatratos,
unos compuestos tan eficaces para llenar el espacio sin dejar
fisuras, que son capaces de contener grandes cantidades de líquidos
(agua) o gases (metano) en el interior de rocas y en la profundidad
de los mares y los continentes. Como siempre (ya se que lo estabais
imaginando) la sabia y asombrosa naturaleza ya se había encargado de
inventarla y utilizarla desde el principio de los tiempos.
Si
es un milagro cualquier testimonio es suficiente, pero si se trata de
un hecho es necesario probarlo. Mark Twain.
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